Équations (1) - Corrigé

Énoncé

En utilisant un argument et le module de \(z\) , résoudre les équations suivantes.

1. \(z^3=-1\)

2. \(z^3=i\)

Solution

1. On note \(r=\left\vert z \right\vert\) et \(\theta\) un argument de \(z\) . On a alors :
\(\begin{align*}z^3=-1\Longleftrightarrow\left\lbrace \begin{array}{l}\left\vert z^3 \right\vert = \left\vert -1 \right\vert\\ \arg(z^3) \equiv \arg(-1) \ [2\pi]\end{array} \right.& \Longleftrightarrow\left\lbrace \begin{array}{l}\left\vert z \right\vert^3 = 1\\ 3\arg(z) \equiv \pi \ [2\pi]\end{array} \right.\\& \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l}r^3 = 1\\ 3\theta \equiv \pi \ [2\pi]\end{array} \right.\\& \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l}r=\sqrt[3]{1}=1 \ \ \text{ car } r \in \mathbb{R}\\ \theta \equiv \dfrac{\pi}{3} \ \left[\dfrac{2\pi}{3}\right]\end{array} \right.\end{align*}\)
On en déduit que l'équation \(z^3=-1\) a trois solutions :

• cas où \(r=1\) et \(\theta \equiv \dfrac{\pi}{3} \ \left[\dfrac{2\pi}{3}\right]\) : \(z=1\left(\cos \dfrac{\pi}{3} +i\sin \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)  ; -
• cas où \(r=1\) et \(\theta \equiv \pi \ \left[\dfrac{2\pi}{3}\right]\) :  \(z=1\left(\cos (\pi) +i\sin (\pi)\right)=-1\)  ;
• cas où \(r=1\) et \(\theta \equiv \dfrac{5\pi}{3} \ \left[\dfrac{2\pi}{3}\right]\) : 
  \(z=1\left(\cos \dfrac{5\pi}{3} +i\sin \dfrac{5\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} +i\dfrac{-\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .

Finalement : \(S=\left\lbrace -1 \ ; \dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \ ; \dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right\rbrace\) .

2. On note \(r=\left\vert z \right\vert\) et \(\theta\) un argument de \(z\) . On a alors :
\(\begin{align*}z^3=i \Longleftrightarrow\left\lbrace \begin{array}{l}\left\vert z^3 \right\vert = \left\vert i \right\vert\\ \arg(z^3) \equiv \arg(i) \ [2\pi]\end{array} \right.& \Longleftrightarrow\left\lbrace \begin{array}{l}\left\vert z \right\vert^3 = 1\\ 3\arg(z) \equiv \frac{\pi}{2} \ [2\pi]\end{array} \right.\\& \Longleftrightarrow\left\lbrace \begin{array}{l}r^3 = 1\\ 3\theta \equiv \dfrac{\pi}{2} \ [2\pi]\end{array} \right.\\& \Longleftrightarrow\left\lbrace \begin{array}{l}r=\sqrt[3]{1}=1 \text{ car } r \in \mathbb{R}\\ \theta \equiv \dfrac{\pi}{6} \ \left[\dfrac{2\pi}{3}\right]\end{array} \right.\end{align*}\)

On en déduit que l'équation \(z^3=i\) a trois solutions :

• cas où \(r=1\) et \(\theta \equiv \dfrac{\pi}{6} \ \left[\dfrac{2\pi}{3}\right]\) :  \(z=1\left(\cos \dfrac{\pi}{6} +i\sin \dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\)  ;
• cas où \(r=1\) et \(\theta \equiv \dfrac{5\pi}{6} \ \left[\dfrac{2\pi}{3}\right]\) :  \(z=1\left(\cos \dfrac{5\pi}{6} +i\sin \dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\)  ;
•  cas où \(r=1\) et \(\theta \equiv \dfrac{9\pi}{6} \equiv \dfrac{3\pi}{2} \ \left[\dfrac{2\pi}{3}\right]\) :
  \(z=1\left(\cos \dfrac{3\pi}{2} +i\sin \dfrac{3\pi}{2}\right)=-i\) .

Finalement : \(S=\left\lbrace -i \ ; -\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i \ ; \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i \right\rbrace\) .